一道经典的初二几何最值题。题目条件紧凑：一个定角、一段定和、一条角平分线，要求的是角平分线的最大长度。如果硬算 AB、AC 会发现两者都在变，直接求 AD 的长度公式其实相当复杂。本视频用一个非常简洁的"面积法 + 基本不等式"思路，把解题链打通。
【题目】
△ABC 中，∠BAC=60°，AD 平分 ∠BAC（D 在 BC 上），AB+AC=6。求 AD 的最大值。
【解题思路】
第一步：用夹角把 △ABC 的面积表示为 AB·AC 的函数。
S△ABC = (1/2)·AB·AC·sin60° = (√3/4)·AB·AC
第二步：换一种方式表示同一个面积——沿 AD 把 △ABC 切成 △ABD 和 △ACD 两块。因为 AD 平分 ∠BAC，两块里的顶角都是 30°，而 sin30° = 1/2 正好让公因子 AD/4 冒出来。
S△ABC = S△ABD + S△ACD = (1/2)·AB·AD·sin30° + (1/2)·AC·AD·sin30°
= (1/4)·AD·(AB+AC) = (1/4)·AD·6 = (3/2)·AD
第三步：两种写法必须相等，解出 AD。
(√3/4)·AB·AC = (3/2)·AD ⇒ AD = (√3/6)·AB·AC
第四步：用基本不等式（AM-GM）求 AB·AC 的最大值。这一步关键在于我们拿到了定和 AB+AC=6。
AB·AC ≤ ((AB+AC)/2)² = 9
等号成立的条件是 AB = AC = 3，此时 △ABC 退化为等边三角形。
第五步：把 AB·AC = 9 代回去。
AD_max = (√3/6)·9 = 3√3/2
👉 最终答案：AD 的最大值是 3√3/2，当 △ABC 是边长为 3 的等边三角形时取到。
【套路总结】
凡是遇到"**定角 + 两边和定值，求角平分线最值**"这类题，解题模式几乎固定：
① 面积法两次写 S△ABC；
② 用 sin(半角) 把 AB、AC、AD、(AB+AC) 串起来；
③ 联立得 AD ~ AB·AC；
④ 用 AM-GM 把"定和"变成"最大积"。
本质上，这是"定和 → 最大积 → 角平分线最长 → 取等即等边"的连锁推理。
【制作说明】
视频时长约 37 秒，使用 Python + Manim Community Edition 制作。动画区完整展示了 △ABC 的形变过程，题解区同时绘制 AD 关于 AB 的抛物线 f(t) = (√3/6)·t·(6−t)，峰值位于 t=3，对应等边三角形。
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